一份考研数学和竞赛的练习题[共10道](考研数学一第一轮买什么资料)

本期的推文是对你做了往期每日一题后的练习，但均不选自每日一题，来锻炼你的数学竞赛做题能力，考你看到题后第一思路，能做出几个，满分为100分。
1.[本题10分] 计算极限
<section role="presentation" data-formula="\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{\frac{2023}{n}}-1\right) \ln \left(\prod_{i=1}^n\left(\frac{i}{i+n}\right)\right)
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

2.[本题10分] 求级数的和,其中

3.[本题10分] 设在上是可微的，证明：,s.t.

4.[本题10分] 求所有连续可微函数 , 使得对 都有

其中 .
5.[本题10分] 设为正偶数，试证
<section role="presentation" data-formula="\sum_{n=0}^{k / 2}(-1)^n\left(\begin{array}{c}
k+2 \\
n
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
2(k-n)+1 \\
k+1
\end{array}\right)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

6.[本题10分] 对有
<section role="presentation" data-formula="\sum_{k=0}^{\infty} x^k \frac{1+x^{2 k+2}}{\left(1-x^{2 k+2}\right)^2}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^k}{\left(1-x^{k+1}\right)^2}
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

7.[本题10分] 设 为任意函数，满足
<section role="presentation" data-formula="\frac{f(x)+f(y)}{2} \leq f\left(\frac{x+y}{2}\right)+1，x, y \in[0,1]
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

证明：对 ,有
<section role="presentation" data-formula="\frac{w-v}{w-u} f(u)+\frac{v-u}{w-u} f(w) \leq f(v)+2 .
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

8.[本题10分] 设 为自然数，证明
<section role="presentation" data-formula="\prod_{k=2}^n \ln k<\frac{\sqrt{n !}}{n} .
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

9.[本题10分] 设为递减函数，满足
<section role="presentation" data-formula="\int_0^{\infty} f(x)<\infty .
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

证明：.
10.[本题10分] 证明
<section role="presentation" data-formula="\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(\int_0^1 \sqrt[n]{1+x^n} \mathrm{~d} x-1\right)=\frac{\pi^2}{12}
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>

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近年来我写的七本书，欢迎订阅。数学考研包括三本，数分高代讲义+真题集；竞赛类主要是蒲和平教程课后解析+竞赛讲义；补充学习便是积分不等式葵花宝典和历年五届八一赛。