【考试大纲】2022考研数学(一)大纲_函数

原标题：【考试大纲】2022考研数学（一）大纲









2022年考研数学一考试大纲



研讨生数学一考试类别：



高级数学、线性代数、盖尤踣与数理计算



考研考试方法和试卷规划：



一、试卷满分及考试时刻：试卷满分为150分，考试时刻为180分钟.



二、答题方法：答题方法为闭卷、书面考试.



三、试卷内容规划：高级教育约60%;线性代数约20%;盖尤踣与数理计算约20%.



四、试卷题型规划：



单选题10小题，每小题5分，共50分



填空题 6小题，每小题5分，共30分



答复题(包括证明题)7 小题，共70分



高级数学



一、函数、极限、接连



函数的概念及标明法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数、分段函数和隐函数、根柢初等函数的性质及其图形、初等函数、函数联络的树立;　　数列极限与函数极限的界说及其性质、函数的左极限和右极限、无量小量和无量许多的概念及其联络、无量小量的性质及无量小量的比照、极限的四则运算、极限存在的两个原则;单调有界原则和夹逼原则、两个重要极限：











函数接连的概念、函数接连点的类型、初等函数的接连性、闭区间上接连函数的性质.





考试需求：



1.了解函数的概念，掌控函数的标明法，会树立使用疑问的函数联络.



2.晓得函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.



3.了解复合函数及分段函数的概念，晓得反函数及隐函数的概念.



4.掌控根柢初等函数的性质及其图形，晓得初等函数的概念.



5.了解极限的概念，了解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的联络.



6.掌控极限的性质?脑蛟怂愎嬖?



7.掌控极限存在的两个原则，并会使用它们求极限，掌控使用两个重要极限求极限的办法.



8.了解无量小量、无量许多的概念，掌控无量小量的比照办法，会用等价无量小量求极限.



9.了解函数接连性的概念(含左接连与右接连)，会区别函数接连点的类型.



10.晓得接连函数的性质和初等函数的接连性，了解闭区间上接连函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会使用这些性质.



二、一元函数微分学



导数和微分的概念、导数的几许意义和物理意义、函数的可挡笤与接连性之间的联络、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、根柢初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所断定的函数的微分法、高阶导数、一阶微分方法的不变性、微分中值定理、洛必达(l’hospital)规则、函数单调性的区别、函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘函数的最大值与最小值、弧微分及曲率的概念、曲率圆与曲率半径





考试需求：



1.了解导数和微分的概念，了解导数与微分的联络，了解导数的几许意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，晓得导数的物理意义，会用导数描绘一些物理量，了解函数的可挡笤与接连性之间的联络.



2.掌控导数的四则运算规则和复合函数的求导规则，掌控根柢初等函数的导数公式.晓得微分的四则运算规则和一阶微分方法的不变性，会求函数的微分.



3.晓得高阶导数的概念，会求简略函数的高阶导数.



4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所断定的函数以及反函数的导数.



5.了解并会用罗尔(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理和泰勒(taylor)定理，晓得并会用柯西(cauchy)中值定理.



6.掌控用洛必达规则求不决式极限的办法.



7.了解函数的极值概念，掌控用导数判别函数的单调性和求函数极值的办法，掌控函数最大值和最小值的求法及其使用.



8.会用导数判别函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.其时，的图形是凹的;其时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以?健⑶χ焙托苯ソ撸崦杌婧耐夹?



9.晓得曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.



三、一元函数积分学



原函数和不定积分的概念、不定积分的根柢性质、根柢积分公式、定积分的概念和根柢性质、定积分中值定理、积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(newton-leibniz)公式、不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法、有理函数、三角函数的有理式和简略无理函数的积分、异常(广义)积分、定积分的使用.



考试需求：



1.了解原函数的概念，了解不定积分和定积分的概念.



2.掌控不定积分的根柢公式，掌控不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌控换元积分法与分部积分法.



3.会求有理函数、三角函数有理式和简略无理函数的积分.



4.了解积分上限的函数，会求它的导数，掌控牛顿-莱布尼茨公式.



5.了解异常积分的概念，晓得异常积分收敛的比照区别法，会计算异常积分.



6.掌控用定积分表达和核算一些几许量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及旁边面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的均匀值.



四、向量代数和空间解析几许



向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积、两向量笔直及平行的条件、两向量的夹角、向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦、曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程、平面与平面及平面与直线及直线与直线的夹角以及平行和笔直的条件、点到平面和点到直线的间隔、球面、柱面、旋转曲面、常用的二次曲面方程及其图形、空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.





考试需求：



1.了解空间直角坐标系，了解向量的概念及其标明.



2.掌控向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，晓得两个向量笔直、平行的条件.



3.了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌控用坐标表达式进行向量运算的办法.



4.掌控平面方程和直线方程及其求法.



5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会使用平面、直线的彼此联络(平行、笔直、相交等))处置有关疑问.



6.会求点到直线以及点到平面的间隔.



7.晓得曲面方程和空间曲线方程的概念.



8.晓得常用二次曲面的方程及其图形，会求简略的柱面和旋转曲面的方程.



9.晓得空间曲线的参数方程和一般方程.晓得空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.



五、多元函数微分学



多元函数的概念、二元函数的几许意义、二元函数的极限与接连的概念、有界闭区域上多元接连函数的性质、多元函数的偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.



多元复合函数、隐函数的求导法、二阶偏导数、方导游数和梯度、空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线、二元函数的二阶泰勒公式、多元函数的极值和条件极值、多元函数的最大值、最小值及其简略使用.





考试需求：



1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几许意义.



2.晓得二元函数的极限与接连的概念以及有界闭区域上接连函数的性质.



3.了解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，晓得全微分存在的必要条件和充分条件，晓得全微分方法的不变性.



4.了解方导游数与梯度的概念，并掌控其核算办法.



5.掌控多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.



6.晓得隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.



7.晓得空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.



8.晓得二元函数的二阶泰勒公式.



9.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌控多元函数极值存在的必要条件，晓得二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简略多元函数的最大值和最小值，并会处置一些简略的使用疑问.





六、多元函数积分学



二重积分与三重积分的概念、性质、核算和使用、两类曲线积分的概念及性质及核算、两类曲线积分的联络、格林(green)公式、平面曲线积分与途径无关的条件、二元函数全微分的原函数、两类曲面积分的概念及性质及核算、两类曲面积分的联络、高斯(gauss)公式、斯托克斯(stokes)公式、散度和旋度的概念及核算、曲线积分和曲面积分的使用.





考试需求：



1.了解二重积分、三重积分的概念，晓得重积分的性质，晓得二重积分的中值定理.



2.掌控二重积分的核算办法(直角坐标、极坐标)，会计算



三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).



3.了解两类曲线积分的概念，晓得两类曲线积分的性质及两类曲线积分的联络.



4.掌控核算两类曲线积分的办法.



5.掌控格林公式并会运用平面曲线积分与途径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.



6.晓得两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的联络，掌控核算两类曲面积分的办法，掌控用高斯公式核算曲面积分的办法，并会用斯托克斯公式核算曲线积分.



7.晓得散度与旋度的概念，并会计算.



8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几许量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、滚动惯量、引力、功及流量等).



七、无量级数



常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念、级数的根柢性质与收敛的必要条件、几许级数与级数及其收敛性、正项级数收敛性的区别法、交错级数与莱布尼茨定理、任意项级数的必定收敛与条件收敛、函数项级数的收敛域与和函数的概念、幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域、幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的根柢性质、简略幂级数的和函数的求法、初等函数的幂级数打开式、函数的傅里叶(fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(dirichlet)定理、函数在[-ι,ι]上的傅里叶级数、函数在[0,ι]上的正弦级数和余弦级数.





考试需求：



1.了解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌控级数的根柢性质及收敛的必要条件.



2.掌控几许级数与级数的收敛与发散的条件.



3.掌控正项级数收敛性的比照区别法、比值区别法、根值区别法，会用积分区别法.



4.掌控交错级数的莱布尼茨区别法.



5.晓得任意项级数必定收敛与条件收敛的概念以及必定收敛与收敛的联络.



6.晓得函数项级数的收敛域及和函数的概念.



7.了解幂级数收敛半径的概念、并掌控幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.



8.晓得幂级数在其收敛区间内的根柢性质(和函数的接连性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.



9.晓得函数打开为泰勒级数的充分必要条件.



10.掌控麦克劳林(maclaurin)打开式，会用它们将一些简略函数直接打开为幂级数.



11.晓得傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将界说在[-ι,ι]上的函数打开为傅里叶级数，会将界说在[0,ι]上的函数打开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.



8、常微分方程



常微分方程的根柢概念、变量可别离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(bernoulli)方程、全微分方程、可用简略的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程、线性微分方程解的性质及解的规划定理、二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程、简略的二阶常系数非齐次线性微分方程、欧拉(euler)方程、微分方程的简略使用.





考试需求



1.晓得微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.



2.掌控变量可别离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.



3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简略的变量代换解某些微分方程.



4.会用降阶法解下列方法的微分方程：y”=f(x)、y”= f(x,y’)和y”=f(y,y’).



5.了解线性微分方程解的性质及解的规划.



6.掌控二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.



7.会解安适项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以?堑暮陀牖亩壮Ｏ凳瞧氪蜗咝晕⒎址匠?



8.会解欧拉方程.



9.会用微分方程处置一些简略的使用疑问.



线性代数



一、部队式



部队式的概念和根柢性质、部队式按行(列)打开定理





考试需求：



1.晓得部队式的概念，掌控部队式的性质.



2.会使用部队式的性质和部队式按行(列)打开定理核算部队式.



二、矩阵



矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的部队式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等改换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价、分块矩阵及其运算.





考试需求：



1.了解矩阵的概念，晓得单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和对立称矩阵以?堑男灾?



2.掌控矩阵的线性运算、乘法、转置以?堑脑怂愎嬖颍梅秸蟮拿萦敕秸蟪嘶牟慷邮降男灾?



3.了解逆矩阵的概念，掌控逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.



4.了解矩阵初等改换的概念，晓得初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，了解矩阵的秩的概念，掌控用初等改换求矩阵的秩和逆矩阵的办法.



5.晓得分块矩阵及其运算.



三、向量



向量的概念、向量的线性组合与线性标明、向量组的线性有关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的联络、向量空间及其有关概念、n维向量空间的基改换和坐标改换、过渡矩阵、向量的内积、线性无关向量组的正交标准化办法、标准正交基、正交矩阵及其性质.





考试需求：



1.了解n维向量、向量的线性组合与线性标明的概念.



2.了解向量组线性有关、线性无关的概念，掌控向量组线性有关、线性无关的有关性质及区别法.



3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.



4.了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的联络.



5.晓得n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念.



6.晓得基改换和坐标改换公式，会求过渡矩阵.



7.晓得内积的概念，掌控线性无关向量组正交标准化的施密特(schmidt)办法.



8.晓得标准正交基、正交矩阵的概念以?堑男灾?



四、线性方程组



线性方程组的克拉默(cramer)规则、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件、线性方程组解的性质宽和的规划、齐次线性方程组的基础解系和通解、解空间、非齐次线性方程组的通解.





考试需求：



l.会用克拉默规则.



2.了解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.



3.了解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌控齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.



4.了解非齐次线性方程组解的规划及通解的概念.



5.掌控用初等行改换求解线性方程组的办法.



五、矩阵的特征值和特征向量



矩阵的特征值和特征向量的概念及性质、类似改换及类似矩阵的概念及性质、矩阵可类似对角化的充分必要条件及类似对角矩阵、实对称矩阵的特征值、特征向量及其类似对角矩阵.





考试需求：



1.了解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.



2.了解类似矩阵的概念、性质及矩阵可类似对角化的充分必要条件，掌控将矩阵化为类似对角矩阵的办法.



3.掌控实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.



六、二次型



二次型及其矩阵标明、合同改换与合同矩阵、二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和标准形、用正交改换和配办法化二次型为标准形、二次型及其矩阵的正定性.





考试需求：



1.掌控二次型及其矩阵标明，晓得二次型秩的概念，晓得合同改换与合同矩阵的概念，晓得二次型的标准形、标准形的概念以及惯性定理.



2.掌控用正交改换化二次型为标准形的办法，会用配办法化二次型为标准形.



3.了解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌控其区别法.



盖尤踣与数理计算



一、随机作业和概率



随机作业与样本空间、作业的联络与运算、齐备作业组、概率的概念、概率的根柢性质、古典型概率、几许型概率、条件概率、概率的根柢公式、作业的独立性、独立重复实验.





考试需求：



1.晓得样本空间(根柢作业空间)的概念，了解随机作业的概念，掌控作业的联络及运算.



2.了解概率、条件概率的概念，掌控概率的根柢性质，会计算古典型概率和几许型概率，掌控概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(bayes)公式.



3.了解作业独立性的概念，掌控用作业独立性进行概率核算;了解独立重复实验的概念，掌控核算有关作业概率的办法.



二、随机变量及其分布



随机变量、随机变量分布函数的概念及其性质、离散型随机变量的概率分布、接连型随机变量的概率密度、常见随机变量的分布、随机变量函数的分布.





考试需求：



1.了解随机变量的概念，了解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联络的作业的概率.



2.了解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌控0-1分布、二项分布、几许分布、超几许分布、泊松(poisson)分布及其使用.



3.晓得泊松定理的结论和使用条件，会用泊松分布近似标明二项分布.



4.了解接连型随机变量及其概率密度的概念，掌控均匀分布、正态分布、指数分布及其使用，参数为λ（λ>0）的指数分布的概率密度.



5.会求随机变量函数的分布.



三、多维随机变量及其分布



多维随机变量及其分布、二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布、二维接连型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度、随机变量的独立性和不有关性、常用二维随机变量的分布、两个及两个以上随机变量简略函数的分布.





考试需求：



1.了解多维随机变量的概念，了解多维随机变量的分布的概念和性质，了解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，了解二维接连型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量有关作业的概率.



2.了解随机变量的独立性及不有关性的概念，掌控随机变量彼此独立的条件.



3.掌控二维均匀分布，晓得二维正态分布的概率密度，了解其间参数的概率意义.



4.会求两个随机变量简略函数的分布，会求多个彼此独立随机变量简略函数的分布.



四、随机变量的数字特征



随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质、随机变量函数的数学期望、矩、协方差、有联络数及其性质.





考试需求：



1.了解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、有联络数)的概念，会运用数字特征的根柢性质，并掌控常用分布的数字特征.



2.会求随机变量函数的数学期望.



五、大数规则和中心极限制理



切比雪夫(chebyshev)不等式、切比雪夫大数规则、伯努利(bernoulli)大数规则、辛钦(khinchine)大数规则、棣莫弗-拉普拉斯(de moivre-laplace)定理、列维-林德伯格(levy-lindberg)定理.





考试需求：



1.晓得切比雪夫不等式.



2.晓得切比雪夫大数规则、伯努利大数规则和辛钦大数规则(独立同分布随机变量序列的大数规则).



3.晓得棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限制理).



六、数理计算的根柢概念



全体、个别、简略随机样本、计算量、样本均值、样本方差和样本矩、卡方分布、t分布、f分布、分位数、正态全体的常用抽样分布.





考试需求：



1.了解全体、简略随机样本、计算量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.



2.晓得卡方分布、t分布和f分布的概念及性质，晓得上侧α分位数的概念并会查表核算.



3.晓得正态全体的常用抽样分布.



七、参数估量



点估量的概念、估量量与估量值、矩估量法、最大似然估量法、估量量的评选标准、区间估量的概念、单个正态全体的均值和方差的区间估量、两个正态全体的均值差和方差比的区间估量.





考试需求：



1.了解参数的点估量、估量量与估量值的概念.



2.掌控矩估量法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估量法.



3.晓得估量量的无偏性、有用性(最小方差性)和共同性(相合性)的概念，并会验证估量量的无偏性.



4、了解区间估量的概念，会求单个正态全体的均值和方差的相信区间，会求两个正态全体的均值差和方差比的相信区间.



8、假定查验



显着性查验、假定查验的两类差错、单个及两个正态全体的均值和方差的假定查验.





考试需求：



1.了解显着性查验的根柢思维，掌控假定查验的根柢进程，晓得假定查验可以发生的两类差错.



2.掌控单个及两个正态全体的均值和方差的假定查验.



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