2024年北京师范大学高级代数专业归纳考研考试大纲_向量_矩阵_空间(2024年北京师范大学研究生招生简章)

参阅书：
《代数学基础》(上)，张英伯，王恺顺，北京师范大学出书社；
《高级代数学》第三版，姚慕生，吴泉流，谢启鸿。
一、全体需求
1．掌控根柢的代数运算办法,包括：部队式的核算，矩阵运算（乘法、求秩、区别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量），线性方程组解的断定及求解，多项式运算（带余除法，曲折相除法）.
2.掌控根柢的代数分析技巧，包括：向量的线性有关和线性无关性，向量空间的基与维数，线性方程组解的规划,线性改换和矩阵的联络，方阵可类似对角化的断定,对称矩阵与二次型，多项式的整除性及因式分化.
3.掌控代数的根柢几许背就连了解代数与几许的联络，包括：欧氏空间与酉空间，正交改换与正交矩阵,酉改换与酉矩阵，对称改换与对称矩阵,实对称矩阵的正交类似对角化，最小二乘解，对偶空间与双线性函数.
二、考试内容
第一有些多项式
1.数域,一元多项式的界说和根柢运算；
2.多项式的带余除法，多项式整除性理论；
3.多项式的最大公因式，曲折相除法；
4.不可以约多项式，多项式的仅有因式分化定理，多项式的重因式；
5.多项式函数与多项式的根；
6.代数根柢定理，复数域和实数域上多项式；
7.有理数域和整数环上的多项式，eisenstein区别法；
8.多元多项式的概念及字典摆放法，对称多项式及其根柢定理.
第二有些部队式
1.摆放、n阶部队式的界说；
2.n阶部队式的性质和根柢核算；
3.代数余子式、部队式按一行（列）打开；
4.克莱姆规则；
5.laplace定理.
第三有些线性方程组
1.线性方程组求解的消元法；
2.矩阵的秩，用矩阵的初等改换求秩；
3.线性方程组可解的区别法；
4.两个多项式的结式和多项式的区别式.
第四有些矩阵
1.矩阵的线性运算、乘法及转置；
2.矩阵

可逆的断定条件及性质，用初等改换求可逆矩阵的逆；
3.矩阵乘积的部队式与秩；
4.矩阵的分块及其运算技巧.
第五有些向量空间
1.向量空间的界说和比方；
2.向量组的线性有关和线性无关性，向量组的极大无关组；
3.向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标改换公式；
4.子空间、子空间的交与和；
5.向量空间的同构及其性质；
6.矩阵的行秩和列秩，齐次线性方程组的解空间与基础解系.
第六有些线性改换
1.线性映射和线性改换的界说及比方；
2.线性改换的运算和矩阵的联络；
3.线性改换的不变子空间及其性质；
4.方阵的特征值和特征向量；
5.可以对角化的矩阵；
6.极小多项式与cayley-hamilton定理;
7.向量空间的准素分化，矩阵的jordan标准形；
8.矩阵的有理标准形.
第七有些欧氏空间和酉空间
1.向量的内积和欧氏空间的界说；
2.标准正交基，schmidt正交化办法；
3.正交改换与正交矩阵；
4.对称改换与对称矩阵，实对称矩阵的正交类似对角化；
5.向量到子空间的间隔，最小二乘解；
6.酉空间与酉改换.
第8有些二次型
1.二次型与对称矩阵，矩阵的合同联络；
2.复数域上的二次型及其榜样形；
3.实数域上的二次型，惯性规则；
4.正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的断定条件.
第九有些双线性函数
1.线性函数与对偶空间；
2.双线性函数及其衡量矩阵；
3.对称双线性函数，对立称双线性函数.
空间解析几许（分值：65分）
参阅书：
1.空间解析几许（第四版），高红铸，王敬庚，傅若男，北京师范大学出书社
2.解析几许，尤承业，北京大学出书社
3.解析几许（第三版），丘维声，北京大学出书社
一、向量代数
考试内容
向量及其线性运算，向量的内积、外积、混合积、两层外积。
考试需求
1、熟练进行向量的线性运算，会用线性运算处置共线、共面疑问，掌控定比分点的公式和使用。
2、使用内积处置长度、夹角、笔直等有关疑问。
3、使用外积处置面积、夹角、平行等有关疑问。
4、使用混合积处置体积、共面等有关疑问。
二、平面与直线
考试内容
坐标系与坐标系中的向量运算，空间中的平面方程，空间中的直线方程，平面与直线的有关疑问，间隔。
考试需求
1、在直角坐标系和仿射坐标系中熟练进行向量的线性运算，在右手直角坐标系中熟练进行向量的内积、外积、混合积等运算，掌控坐标系中心隔、夹角、定比分点等的核算和使用。
2、掌控空间中平面的点法度方程、三点式方程、截距式方程，判别两平面的方位联络，会求两平面的夹角。
3、掌控空间中直线的点向式方程、两点式方程、参数方程和一般式方程，会求两条直线的夹角。
4、会判别平面与直线的方位联络，判别两条直线是不是共面。
5、会计算点到平面的间隔、点到直线的间隔、异面直线的间隔，会求异面直线的公垂线方程。
三、特别曲面和二次曲面
考试内容
球面、圆柱面和圆锥面方程，柱面、锥面及旋转面方程，空间曲线和曲面的参数方程，二次曲面，单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性。
考试需求
1、掌控球面、圆柱面和圆锥面方程的求法。
2、掌控柱面、锥面及旋转面方程的特征。特别是直母线是坐标轴时柱面的特征、极点是坐标原点时锥面的特征、旋转轴是坐标轴时旋转面方程的特征。
3、晓得代表性空间曲线（如直线、圆周、圆柱螺线等）的参数方程，代表性空间曲面（如平面、球面、旋转面等）的参数方程，晓得球面坐标、柱面坐标和直角坐标的联络。
4、晓得各种二次曲面的类型和标准方程，会判别一个二次方程代表哪品种型的二次曲面。
5、能写出单叶双曲面和双曲抛物面的直母线方程。
四、坐标改换与一般二次曲线（面）的谈论
考试内容
坐标改换，一般二次曲线方程和二次曲面方程的化简，二次曲线的不变量及类型区别，二次曲线的切线、法线和对称性。
考试需求
1、了解坐标改换的过渡矩阵的性质，掌控坐标改换公式及其使用。
2、掌控用坐标改换化简二次曲线方程和二次曲面方程的一般办法。
3、掌控用不变量判别二次曲线类型的办法以及用不变量给出标准方程的办法。
4.、会求二次曲线的切线、法线和对称轴、对称中心。
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