华东师范《数学分析》课后答案考研重点笔记网课_级数_un_收敛(数学分折华东师范大学)

华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

第12章　数项级数

12.1　复习笔记

一、级数的收敛性

1．相关定义

（1）给定一个数列{un}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式

u1＋u2＋…un＋… （12-1）

称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中un称为数项级数（12-1）的通项或一般项．

数项级数（12-1）也常写作

或简单写作∑un．

（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为

（12-2）

称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．

（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{sn}收敛于s（即

），则称数项级数（12-1）收敛，称s为数项级数（12-1）的和，记作

或s＝∑un．

若{sn}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．

2．重要定理

（1）级数收敛的柯西准则

级数（12-1）收敛的充要条件是：任给正数

，总存在正整数n，使得当m＞n以及对任意的正整数p，都有

（12-3）

由定理（1），立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件．

（2）若级数∑un与∑vn都收敛，则对任意常数c，d，级数∑（cun＋dvn）亦收敛，且

（3）去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性．

（4）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．

二、正项级数

1．正项级数收敛性的一般判别原则

（1）正项级数∑un收敛的充要条件是：部分和数列{sn}有界，即存在某正数m，对一切正整数n有sn＜m．

（2）比较原则

设∑un和∑vn是两个正项级数，如果存在某正数n，对一切n＞n都有

un≤vn

则

①若级数∑vn收敛，则级数∑un也收敛；

②若级数∑un发散，则级数∑vn也发散．

（3）设

（12-4）

（12-5）

是两个正项级数．若

（12-6）

则

①当0＜l＜＋∞时，级数（12-4）、（12-5）同时收敛或同时发散；

②当l＝0且级数（12-5）收敛时，级数（12-4）也收敛；

③当l＝＋∞且级数（12-5）发散时，级数（12-4）也发散．

2．比式判别法和根式判别法

（1）达朗贝尔列别法，或称比式判别法

设∑un为正项级数，且存在某正整n0及常数q（0＜q＜1）．

①若对一切n＞n0，成立不等式

则级数∑un收敛．

②若对一切n＞n0,成立不等式

则级数∑un发散．

（2）比式判别法的极限形式

若∑un为正项级数，且

则

①当q＜1时，级数∑un收敛；

②当q＞1或q＝＋∞时，级数∑un发散．

（3）比式极限不存在时的判别法

设∑un为正项级数．

①若

，则级数收敛；

②若

，则级数发散．

（4）柯西判别法，或称根式判别法

设∑un为正项级数，且存在某正数n0及正常数l，

①若对一切n＞ n0，成立不等式

则级数∑un收敛；

②若对一切n＞n0，成立不等式

则级数∑un发散．

（5）根式判别法的极限形式

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