浙江大学历年数学专业考研真题(浙江大学数学科学学院2022)

1、浙江大学研讨生高级代数试题一 a1 , a2 ,an 是 n 个纷歧样的整数，证明f ( x)(xa1 )( xa2 )( xan )1在有理数域上可约的充分必要条件是f ( x) 可标明为一个整数多项式的平方a1二设a2，且t0 ，求 (1) ent(2)(

et )1an(其间en 为 n 阶单位阵，t 为的转置)三矩阵am n 是行满秩(即秩am) ，证明:(1)存在可逆阵q ，使得a( em,0)q(2) 存在矩阵bnm ，使得abem四设n 阶方阵a 满足a2a ，1,2 ,n 是 p n 中 n 个线形无关的列向量，设v2是 由a1 , a2 , an 生 成的 子空 间，v1是ax

2、0 的解空间，证明:pnv1v2 (v1v2 标明 v1 与v2 的直和 )1五设a,b 都是 n 阶实对称矩阵，且b 正定，则存在s及 d，使得nasdst, bsst六设 n 阶矩阵 a(aij ) ，满足下列条件:(1)0aij1,i , j(2) ai1ai 2ain1(i=1,2,n)求证:(1)a的每一个特征值，都 有1 (2)01 为 a的一个特征x1x1y1nn| xi 是实数，a是 n阶正定阵 ，xn，yn，xn求证: (1)(ta )2( t a)(t a) 等号树立当且仅当与 线形有关时树立（2）若 a是正定矩阵，则(t a) 2(ta )(t a) 也树立8（ 1）设 a, b 别离为复数矩阵域上的k阶和 l 阶方阵 ，而且 a, b 没有公共的特征值，求证 ax xb 只需空解（这儿 x( xij) k k ）（2）在nn 中，改换 : xaxxa, an n ， 为一个固定的矩阵， 且的特征值不为（ – ）的特征值，求证:为一个线形改换。