合适考研的微积分专题——二重积分和三重积分(考研微积分压轴题)

写这篇文章的意图：1、《fibre bundles 专题——纤维丛上的联络》未结束，只能过几天再共享；2、给非数学系的理工科专业的学生一点福利. ,故今日就先来写点微积分中的二重积分和三重积分，合适非数，数学系就不必看了，这些都是trivial的.

1.二重积分（1）
其间为积分区域，而为被积函数.
（2），被积函数中的常数项可直接获取出来变成区域面积的常数项倍.
（3）一个有界闭区域上接连的二元函数是可积的.

2.二重积分的性质

（1），其间为常数.
（2）
（3）
（4）若，则有

（5）若在有界闭区域上接连，则上存在一点满足
3.二重积分的运算
（1）核算办法——化二重积分为二次积分

其间 ,
（2）阐明

（i）当积分区域中的上下界为两常数时，也可以把的上下界写为的函数，然后先对积分再对积分；

（ii）当积分区域较凌

乱时，不管是仍是的上下界都没有共同的表达式，这时可选择分段积分，也即运用性质 （3）；

（iii）当被积函数关于积分区域对称时，可使用对称性求解，如函数是关于轴的奇函数，而积分区域又关于轴对称，那么其积分值等于零；若函数改为偶函数，则等于大于零有些的积分的两倍.

（iv）一个常见的积分公式，即poisson积分

4.三重积分
（1）
其间，为积分区域，为被积函数，为体积元素.
（2）同理可以获取出被积函数中的常数项，得到积分区域体积的常数项倍.

5.三重积分的核算
（1）三重积分关于积分区域的切割要凌乱些，也可以用累次积分的方法求解. 关于积分区域的切割有两种方法.
（i）第一种
（ii）第二种
然后再根据二重积分的累次积分办法可以分红三个一元函数的定积分即可.
（2）关于任意给定的积分区域，不妨都将其当作圆柱，当然一般都是不规则的“柱体”.当对“柱体”的底部和顶部也即积分的上下区间用标明时或许是该区域向平面的投影比照简略，比重用标明“柱体”任意高度的截面面积更简略时，咱们倾向于选择第一种累次积分，反之选择第二种.不管选择哪种积分次序，原则都是最外层积分的积分区间上下限不能是变量，因而咱们需要尽量在内层积分就将可以呈现的变量进行积分.
（3）三重积分相同可以根据对称性简化积分，比方关于的奇函数对关于平面临称的积分区域进行积分等于零等.

6.二重积分和三重积分的变量替换

（1）二重积分

其间是改换的jacobian部队式，和描绘的是同一积分区域.
（i）极坐标改换：
（ii）广义极坐标改换（椭圆）：
（2）三重积分

其间是改换的jacobian部队式.
（i）柱坐标改换：
则有

或

（ii）球坐标改换：

（iii）广义球坐标改换（椭球）：

（3）二重积分和三重积分求解中的交流积分次序
关于给定的积分区域或，首要根据被积函数的方法选择坐标系，接着选择恰当的积分次序得到对应的积分规模使得积分的求解比照简略. 因为关于一个给定的积分，不一样的累次积分次序完全有可以呈现无法积分和极端简略的两种极点情况，因而求解多重积分标题时，不妨测验用不一样的积分次序进行求解或关于标题现已给定的次序也可测验自行交换.（考试中一般查询交流次序）
7.重积分的使用（1）积分区域的面积与体积

当被积函数是常数时，积分值为对应积分区域的面积或体积的常数倍.

（2）空间曲面面积

（i）曲面的面积为

其间是曲面在平面上的投影.

（ii）曲面的面积为

其间是构成的区域，且
（iii）常见的曲面元改换
半径为的球面：
半径为的柱面：

总结：以上内容没有严肃的推导，只给出了断论，会用就好. 故真大佬们别开枪！

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