考研数学真题一题多解系列,精选006中值疑问

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今日老梁持续给我们推送《考研数学真题分类解析系列》第六期，精选了一道拉格朗日中值定理的中值极限疑问。

真题及解析

【例006】（2001数1）

【证明】

（i）由拉格朗日中值定理，

下面证明θ的仅有性。导数方程根的仅有性的证明一般有两种办法：函数单调法和罗尔定理法。

【评注1】（i）问的证法二并没有使用到二阶导数“接连”的条件。

（ii）证法一：由（i）问，有

【评注2】本法证明也没有用到二阶导数接连条件。

证法二：由拉格朗日中值定理，

由（i）问，

又由泰勒中值定理，

联系（*）和（**）两个式子，有

【评注3】本法证明顶用到了二阶导数接连这个条件。

证法三：根据麦克劳林公式，

故由（i）问，

【评注4】本法证明也没有用到二阶导数接连条件。

总结

从本题第（i）问的证法二中和第（ii）问的证法一、三中都可以看出，本题的条件“二阶导数接连”可削弱为“二阶可导”；一般来说，皮亚诺型余项的泰勒公式条件弱于拉格朗日型余项的泰勒中值定理的条件；在对函数在某个区间上（全体）思考疑问时，一般运用拉格朗日型余项的泰勒中值定理，而在求极限、极值点与拐点断定等部分疑问中，用皮亚诺型余项的泰勒公式（麦克劳林）可以更简略，便利一些。

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