速成抢救考研高数·曲线积分·真题训练集+常用方法结论(10…

一、大纲局部

曲线曲面积分一般每年一个大题、一个小题，分数约占试卷的9%。第一类积分是数量积分，非主流，第二类积分是向量积分，重点。

历年真题合集+常用方法结论

二、第一类曲线积分计算

1989、一（3）

常见题型：被积函数与积分区域重合或方程同族

基本方法：将积分区域的方程代入被积函数以化简被积函数

分析：积分区域方程是x2+y2=1（y<=0）,值域这事影响积分变量的上下限。但这个题有鲜明的几何意义是求半周长，所以直接=π

1998、一（3）

分析：同上，将L方程代入化简，再加对称性，易得答案=12a

【小结】将积分区域方程代入被积函数这个操作的合理性在于，如果是不定积分区域，那么被积函数就是没有具体的约束条件，就按不定积分就算。但如果一旦明确给出了积分区域的方程，那这个被积函数就一定服从于这个方程。

2009、二（11）

常见题型：参数方程型

分析：凡是周长、弧长没有现成公式的，可以用参数方程算。该操作合理性为换坐标系，其积分变量前的伸缩率，实际上是雅可比矩阵的行列式。

2018、二（12）

常考题型：对称型积分

基本方法：利用轮换对称性、奇偶对称性化简积分

分析：xy→1/6(2xy+2yz+2xz)=(x+y+z)2-(x2+y2+z2)，易得原式=-π/3

【小结】小题的积分计算核心原则都是“能巧不莽”，能用性质决不算数，最后归结为简单的算数甚至是有鲜明的几何意义，连积分计算都免了。对称性、积分区域与被积函数同族函数性、参数方程法、几何意义常见的思路。

三、与路径有关的第二类曲线积分的计算

1987、一（4）

分析：对于所有的第二类曲线积分，先试一下格林公式条件。只要格林公式的二重积分好计算，就用格林公式法、

基本方法：格林公式法

格林公式

利用格拉诺公式可以将闭曲线上对坐标的曲线积分等价成曲线所围的区域上的二重积分。

使用格林公式时注意事项有三：

1）正方向判定是操场赛跑法，区域在左侧时是正方向，反之负方向。

2）L是闭曲线，不是封闭得用加边法补成封闭曲线

3）一阶偏导数?P/?y和?Q/?x区域内连续，不能有奇点，否则得挖洞法挖去奇点

由格林公式易得，答案为-18π

2004、一（3）

分析：由积分区域为圆弧、被积函数为分项简单函数易得宜用极坐标系，易算得为3π/2

也可使用格林公式，补充两个直角边，也易算得为3π/2

2008、三（16）

分析：由积分区域易得可直接用参数方程法转化为定积分的计算，或者加边构造封闭曲线使用格林公式法。

这个从题目条件上来看，计算难度不会太大，老老实实算，只要算对了慢点没关系，就怕弄岔了。

格林公式也有有挖洞法：

2020、三（16）

分析：只有（0,0）是奇点，挖去奇点的路径一定要与被积函数相适应，比如积分区域与被积函数重合，这样还能借助积分区域方程来化简被积函数。如图，4×2+y2=常数势在必行

平面上的第二类曲线积分主要就是参数方程法、格林公式法，辅助以性质来化简计算过程。空间中的第二类曲线积分还会有斯托克斯公式法，实际上格林公式就是斯托克斯公式的特例，斯托克斯公式是格林公式的三维版本。

如图，相当于用三次格林公式，算三个平面上的旋度的二重积分，再求和。

2011、二（12）

分析：题给右手为正向，通常都是默认右手正向。空间中闭曲线积分，且无奇点，可以考虑用斯托克斯公式计算。

基本方法：第二类曲线积分的斯托克斯公式法

步骤：（已预设满足应用条件）

1）写出第二类曲线积分标准式，明确P、Q、R

2）将对旋度的二重积分写成行列式形式：

行列式行向量依次为面元、偏微分算符、被积函数，列向依次沿x、y、z变化。

3）算二重积分

【小结】还有很多题不摆了，历年真题常客。方法主要就仨：参数方程法直接算、格林公式法转化为曲面积分算，及其空间版本也就是斯托克斯公式法。接下来：

四、平面上与路径无关的曲线积分

这事的特征只有一个：无旋场（旋度是与路径有关的）。

曲线积分域路径无关的等价条件：

2016、17

分析：由待计算积分知，需要先利用所给条件求出f(x,y)，再整理I(t)，试探是否是与路径无关，无关则可选择直角折线路径。由题意得积分结果应该是个较为容易求极值的t的一元单值函数。

2017、11

分析：明确告诉我们路径无关，又是单连通区域，直接用旋度=0的条件就行，易得a=-1

五、【总结】

?????? 曲线积分最普遍的方法是参数方程法直接转为定积分计算。特殊一些是加装了不同的条件：比如加装了积分区域与被积函数相适应的条件，可以改换相适应的坐标系或将积分区域的方程代入被积函数化简；比如加装了对称性条件，就可以用偶倍奇零或轮换对称的条件；比如加装了封闭曲线、闭区域内单连通的条件就可以用格林公式、斯托克斯公式；比如加装了与路径无关的条件，可以改换简易积分路径。

?????? 一句话证明你看过光电面壁人的数学速成抢救系列：“有啥条件用啥方法”。视题目具体加装了什么样的条件，灵活使用不同的方法。