2024年我国科学院大学《高级代数》考研考试大纲(2028年中国科技)

本《高级代数》考试大纲适用于我国科学院大学数学和体系科学等学科各专业硕士研讨生入学考试。高级代数是大学数学系本科学生的最根柢课程之一，也是大大都理工科专业学生的必修基础课。它的首要内容包括多项式、部队式和线性方程组、矩阵及其标准形、特征值和特征向量、线性改换和矩阵范数。需求考生了解根柢概念、掌控根柢定理、有较强的运算才能和归纳分析处置疑问才能。
一、考试的根柢需求
需求考生比照体系地了解高级代数的根柢概念和根柢理论，掌控高级代数的根柢思维和办法。需求考生具有笼统思维才能、逻辑推理才能、运算才能和归纳运用所学的常识分析疑问和处置疑问的才能。
二、考试办法和考试时刻
高级代数考试选用闭卷书面考试方法，试卷满分为150分，考试时刻为180分钟。
三、考试内容
（一）多项式
1．一元多项式的因式、带余除法公式及互素的概念及区别；
2．复根存在定理；
3．根与系数联络；
4．sturm定理。
（二）部队式
1．部队式的置换、对换、置换奇偶性；
2．部队式的界说，根柢性质及核算；
3．vandermonde部队式；
4．部队式的代数余子式、cramer规则。
（三）矩阵
1．矩阵根柢运算、分块矩阵运算；
2．初等矩阵、初等改换和矩阵的秩；
3．矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵方法；
4．部队式乘积定理；
5．矩阵和转置、hermite共轭；
6．对角阵、三角阵、三对角阵；
7．矩阵的迹、方阵多项式；
8．广义逆矩阵。
（四）线性方程组求解
1．线性方程组有解的充分必

要条件；
2．gauss消元法；
3．三角分化。
（五）线性空间和线性改换；
1．向量的线性有关和线性无关；
2．线性空间的界说及性质；
3．向量组的秩、线性空间的基及坐标；
4．线性改换的矩阵标明；
5．矩阵类似；
6．不变子空间；
7．子空间的直接和、维数公式；
8．线性空间的同构。
（六）特征值和特征向量
1．特征值和特征多项式；
2．特征向量、特征子空间、度数和重数；
3．非亏本矩阵的完全特征向量系和谱分化；
4．特征值估量的圆盘定理；
5．三对角矩阵的特征值与sturm定理。
（七）内积空间和等积改换
1．euclid空间的标准正交基，施密特（schmidt）正交化；
2．gram部队式；
3．正交改换及其矩阵标明；
4．初等旋转和镜像改换；
5．qr分化；
6．酉空间和酉改换；
7．正交类似改换和酉类似改换；
8．向量到子空间的间隔、最小二乘。
（8）二次型和对称矩阵
1．二次型及其标准形、惯性定理；
2．实对称矩阵正定的充分必要条件；
3．rayleign商；
4．极大－极小原理、极小－极大原理；
5．正定矩阵的开方和cholesky分化；
6．hermite型和hermite矩阵；
7．标准矩阵。
（九）jordan标准形
1．向量的最小化零多项式；
2．线性改换及矩阵的最小多项式；
3．矩阵的jordan标准形及其仅有性；
4．初等因子和不变因子；
5．矩阵函数。
（十）极限和范数
1．向量和矩阵的极限；
2．向量范数和范数等价定理；
3．相容范数和隶属范数；
4．矩阵依范数的收敛性。
四、掌控要点
（一）部队式乘积定理及其使用
（二）分块矩阵运算及其使用
（三）矩阵三角分化及其使用
（四）矩阵的秩及其使用
（五）线性空间的概念及性质
（六）线性改换下的不变子空间及其矩阵标明
（七）圆盘定理与特征值估量
（8）二次型的标准形
（九）实对称矩阵及其性质
（十）矩阵jordan标准型的核算及其使用
（十一）矩阵范数与矩阵收敛

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